Criteri de Nyquist

El Criteri de Nyquist, teorema de mostreig de Nyquist-Shannon, o teorema de mostreig de Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon, o teorema de Nyquist, és un teorema fonamental de la teoria de la informació, que té un especial interès en l'àmbit de la telecomunicació. Va ser formulat en forma de conjectura per primera vegada per Felix Strecker a Siemens l'any 1930^[1] i per Harry Nyquist el 1932,^[2] i va ser demostrat formalment per Claude E. Shannon el 1949.^[3]

Aquest criteri tracta sobre el mostreig, que no s'ha de confondre amb la quantificació, procés que segueix al del mostreig en la digitalització d'un senyal i que al contrari del mostreig no és reversible (es produeix una pèrdua d'informació en el procés de quantificació fins i tot en el cas teòric ideal, que es tradueix en una distorsió coneguda com a error/soroll de quantificació i que estableix un límit teòric superior a la relació senyal-soroll). Dit d'un altra manera, des del punt de vista del teorema les mostres discretes d'un senyal són valors exactes que encara no han sofert ni acotaments ni truncaments sobre una precisió determinada, cosa que succeeix, perquè encara no han sigut quantificades.

Aquest teorema anuncia que:

"La freqüència de mostreig mínima que es requereix per a realitzar una gravació digital (de qualitat), ha de ser major que el doble de la freqüència de l'àudio del senyal analògic que s'intenta digitalitzar i/o gravar."

En cas d'usar una freqüència inferior és possible obtenir un mostreig que no es correspon amb la mesura, mentre que si s'usa aquesta freqüència de mostreig es pot reproduir posteriorment i de forma unívoca el senyal a partir de les mostres preses.

Si la freqüència més alta continguda en un senyal analògic $x_{a}(t)\,\!$ és $F_{max}=B\,\!$ i el senyal es mostra a $F_{s}>2F_{max}\equiv 2B\,\!$ , llavors $x_{a}(t)\,\!$ pot ser recuperat totalment a partir del seu mostreig usant la següent funció de interpolació:

$g(t)={\frac {\sin 2\pi Bt}{2\pi Bt}}\,\!$

$x_{a}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{a}\left({\frac {n}{F_{s}}}\right)g\left(t-{\frac {n}{F_{s}}}\right)$

on $x_{a}\left({\frac {n}{F_{s}}}\right)=x_{a}\left(nT\right)\equiv x\left(n\right)$ són les mostres de $x_{a}\left(t\right)$ .

Cal notar que el concepte d'amplada de banda no necessàriament és sinònim del valor de la freqüència més alta en el senyal d'interès. Als senyals per als quals això sí que és cert se'ls anomena senyals de banda base, i no tots els senyals comparteixen tal característica (per exemple, les ones de radio en freqüència modulada).

Si el criteri no és satisfet, existiran freqüències les quals el seu mostreig conicideix amb altres (l'anomenat aliasing).

↑ «Chapter 4.3. Das Stabilitätskriterium von Strecker-Nyquist». A: Lineare Regelungs- und Steuerungstheorie (en alemany). 2. Springer-Verlag, 2014, p. 184. ISBN 978-3-64240960-8.
↑ «Regeneration Theory». Bell System Technical Journal. American Telephone and Telegraph Company (AT&T) [USA], 11, 1, gener 1932, pàg. 126–147. DOI: 10.1002/j.1538-7305.1932.tb02344.x.
↑ Shannon, C.E. «Communication in the Presence of Noise». Proceedings of the IRE, 37, 1, 1949, pàg. 10-21. DOI: 10.1109/JRPROC.1949.232969 [Consulta: 12 gener 2022].

[1] «Chapter 4.3. Das Stabilitätskriterium von Strecker-Nyquist». A: Lineare Regelungs- und Steuerungstheorie (en alemany). 2. Springer-Verlag, 2014, p. 184. ISBN 978-3-64240960-8.

[2] «Regeneration Theory». Bell System Technical Journal. American Telephone and Telegraph Company (AT&T) [USA], 11, 1, gener 1932, pàg. 126–147. DOI: 10.1002/j.1538-7305.1932.tb02344.x.

[3] Shannon, C.E. «Communication in the Presence of Noise». Proceedings of the IRE, 37, 1, 1949, pàg. 10-21. DOI: 10.1109/JRPROC.1949.232969 [Consulta: 12 gener 2022].

[1]

[2]

[3]